সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$x^{x \sqrt{x}} = \left( x \sqrt{x} \right)^x$

বা, $x^{x \sqrt{x}} = \left( x \cdot x^{\frac{1}{2}} \right)^x$

বা, $x^{x \sqrt{x}} = \left( x^{1 + \frac{1}{2}} \right)^x$

বা, $x^{x \sqrt{x}} = \left( x^{\frac{3}{2}} \right)^x$

বা, $x^{x \sqrt{x}} = x^{\frac{3x}{2}}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $x$ বাদ দিয়ে পাই,

$x \sqrt{x} = \dfrac{3x}{2}$

বা, $\sqrt{x} = \dfrac{3}{2}$ [উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $(\sqrt{x})^2 = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

$\therefore x = \dfrac{9}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = \dfrac{9}{4}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \dfrac{2^{n+4} - 4 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+2} \div 2}$

প্রথমে $A$ এর মান নির্ণয় করি,

$A = \dfrac{2^{n+4} - 2^2 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+2-1}}$

$= \dfrac{2^{n+4} - 2^{n+1+2}}{2^{n+1}}$

$= \dfrac{2^{n+4} - 2^{n+3}}{2^{n+1}}$

$= \dfrac{2^{n+3} (2^1 - 1)}{2^{n+1}}$

$= \dfrac{2^{n+3} \cdot 1}{2^{n+1}}$

$= 2^{n+3-(n+1)}$

$= 2^{n+3-n-1}$

$= 2^2$

$= 4$

আবার দেওয়া আছে,

$C = \dfrac{5^{m+1}}{(5^m)^{m-1}} \div \dfrac{25^{m+1}}{(5^{m-1})^{m+1}}$

$C$ এর মান নির্ণয় করি,

$C = \dfrac{5^{m+1}}{5^{m^2-m}} \div \dfrac{(5^2)^{m+1}}{5^{m^2-1}}$

$= 5^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{5^{2m+2}}{5^{m^2-1}}$

$= 5^{m+1-m^2+m} \div 5^{(2m+2) - (m^2-1)}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{2m+2-m^2+1}$

$= 5^{-m^2+2m+1} \div 5^{-m^2+2m+3}$

$= 5^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 5^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 5^{-2}$

$= \dfrac{1}{5^2}$

$= \dfrac{1}{25}$

এখন, প্রদত্ত রাশি,

$= A + \sqrt{C}$

$= 4 + \sqrt{\dfrac{1}{25}}$ [মান বসিয়ে]

$= 4 + \dfrac{1}{5}$

$= \dfrac{20+1}{5}$

$= \dfrac{21}{5}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{21}{5}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \dfrac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot 6^{p}}{3^{p-2} \cdot 6^{2p+2} \cdot 10^{p} \cdot 15^{q}}$

প্রথমে $B$ এর মান নির্ণয় করি,

$B = \dfrac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot (2 \cdot 3)^{p}}{3^{p-2} \cdot (2 \cdot 3)^{2p+2} \cdot (2 \cdot 5)^{p} \cdot (3 \cdot 5)^{q}}$

$= \dfrac{2^{2p+1} \cdot 3^{2p+q} \cdot 5^{p+q} \cdot 2^{p} \cdot 3^{p}}{3^{p-2} \cdot 2^{2p+2} \cdot 3^{2p+2} \cdot 2^{p} \cdot 5^{p} \cdot 3^{q} \cdot 5^{q}}$

ভিত্তিগুলো একত্র করে পাই,

$= \dfrac{2^{2p+1+p} \cdot 3^{2p+q+p} \cdot 5^{p+q}}{2^{2p+2+p} \cdot 3^{p-2+2p+2+q} \cdot 5^{p+q}}$

$= \dfrac{2^{3p+1} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}}{2^{3p+2} \cdot 3^{3p+q} \cdot 5^{p+q}}$

$= 2^{(3p+1) - (3p+2)} \cdot 3^{(3p+q) - (3p+q)} \cdot 5^{(p+q) - (p+q)}$

$= 2^{3p+1-3p-2} \cdot 3^0 \cdot 5^0$

$= 2^{-1} \cdot 1 \cdot 1$

$= \dfrac{1}{2}$

(খ) হতে পাই, $A = 4$ এবং $C = \dfrac{1}{25}$

এখন,

বামপক্ষ,

$= \dfrac{A}{8} - B + 25C$

$= \dfrac{4}{8} - \dfrac{1}{2} + 25 \cdot \dfrac{1}{25}$

$= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + 1$

$= 0 + 1$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $\dfrac{A}{8} - B + 25C = 1$ Proved