সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১৫

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= \left( \dfrac{x^{2} y^{-1}}{x^{-2} y} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( \dfrac{y^{5} x^{-6}}{y^{-3} x^{10}} \right)}$

$= \left( x^{2 - (-2)} \cdot y^{-1 - 1} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( y^{5 - (-3)} \cdot x^{-6 - 10} \right)}$

$= \left( x^{2 + 2} \cdot y^{-2} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( y^{5 + 3} \cdot x^{-16} \right)}$

$= \left( x^4 \cdot y^{-2} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( y^8 \cdot x^{-16} \right)}$

$= \left( x^{4 \times 2} \cdot y^{-2 \times 2} \right) \cdot \left( y^8 \cdot x^{-16} \right)^{\frac{1}{2}}$

$= \left( x^8 \cdot y^{-4} \right) \cdot \left( y^{8 \times \frac{1}{2}} \cdot x^{-16 \times \frac{1}{2}} \right)$

$= (x^8 \cdot y^{-4}) \cdot (y^4 \cdot x^{-8})$

$= x^{8 - 8} \cdot y^{-4 + 4}$

$= x^0 \cdot y^0$

$= 1 \cdot 1$ [যেহেতু $x^0 = 1$ এবং $y^0 = 1$]

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ,

$= \left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q}$

$= a^{p(q-r)} \cdot a^{q(r-p)} \cdot a^{r(p-q)}$

$= a^{pq-pr} \cdot a^{qr-pq} \cdot a^{pr-qr}$

$= a^{pq-pr+qr-pq+pr-qr}$

$= a^0$

$= 1$

ডানপক্ষ,

$= \left( \dfrac{x^2 y^{-1}}{x^{-2} y} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( \dfrac{y^5 x^{-6}}{y^{-3} x^{10}} \right)}$

$= 1$ [(ক) হতে প্রাপ্ত]

সুতরাং, $\left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q} = \left( \dfrac{x^2 y^{-1}}{x^{-2} y} \right)^2 \cdot \sqrt{\left( \dfrac{y^5 x^{-6}}{y^{-3} x^{10}} \right)}$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

বামপক্ষ,

$= \left( \dfrac{y^a}{y^b} \right)^{a+b} \cdot \left( \dfrac{y^b}{y^c} \right)^{b+c} \cdot \left( \dfrac{y^c}{y^a} \right)^{c+a}$

$= (y^{a-b})^{a+b} \cdot (y^{b-c})^{b+c} \cdot (y^{c-a})^{c+a}$

$= y^{(a-b)(a+b)} \cdot y^{(b-c)(b+c)} \cdot y^{(c-a)(c+a)}$

$= y^{a^2-b^2} \cdot y^{b^2-c^2} \cdot y^{c^2-a^2}$

$= y^{a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2}$

$= y^0$

$= 1$

ডানপক্ষ,

$= \left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q}$

$= 1$ [(খ) হতে প্রাপ্ত]

সুতরাং, $\left( \dfrac{y^a}{y^b} \right)^{a+b} \cdot \left( \dfrac{y^b}{y^c} \right)^{b+c} \cdot \left( \dfrac{y^c}{y^a} \right)^{c+a} = \left( a^p \right)^{q-r} \cdot \left( a^q \right)^{r-p} \cdot \left( a^r \right)^{p-q}$ Proved