১ $X=\tan \theta$, $Y=\cot \theta$ এবং $Z=\sin \theta$

• (ক) $X=\frac{5}{12}$ হলে, $Z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{X}{1-Y} + \frac{Y}{1-X} = X+Y+1$
• (গ) দেখাও যে, $(X+Z)^2-(X-Z)^2=4\sqrt{X^2-Z^2}$

২ (i) $\sqrt{3} \tan A = 1$
(ii) $\cot \alpha +\cos \beta =x$ এবং $\cot \alpha -\cos \beta =y$

• > (ক) ${\rm cosec}\,\theta =\frac{5}{3}$ হলে, $\sec \theta$ ও $\cot \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) হতে $\frac{{\rm cosec}^2\,A -\sec^2 A}{\sec^2 A +{\rm cosec}^2\,A}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $\alpha = \beta$ হলে, (ii) হতে প্রমাণ কর যে, $x^2-y^2 =4\sqrt{xy}$

৩ $w= \tan \theta$, $x= \cot \theta$, $y= \sin \theta$ এবং $z= \cos \theta$

• (ক) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{x}{1-w} +\frac{w}{1-x} =1 +\frac{1}{yz}$
• (গ) $w^4 -w^2 =1$ হলে, প্রমাণ কর যে, সচিব $y^4 +y^2 =1$

৪ $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle C = 90^\circ$ এবং $\angle A =\theta$

• (ক) প্রমাণ কর যে, $\sin \theta + \cos \theta > 1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\cot B}{1 -\cot A} + \frac{\cot A}{1 -\cot B} = \sec A \sec B +1$
• (গ) যদি $\tan B = \frac{b}{a}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{a^2 \sin \theta - b^2 \cos \theta}{a^2 \sin \theta + b^2 \cos \theta} = \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3}$

৫ $x=\tan \theta$, $y=\cot \theta$, $a=\sin \theta$, $b=\cos \theta$ এবং $z=\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$ যেখানে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos 2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $x(1-y)^{-1} + y(1-x)^{-1} = (ab)^{-1}+1$
• (গ) $z= \frac{1}{c}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cot \theta = \frac{2c}{c^2-1}$

৬ দৃশ্যকল্প-১: $f(x)= \sin x$
দৃশ্যকল্প-২: $a-1={\rm cosec}\, \theta$ এবং $b+1={\rm cosec}\, \theta$

• (ক) $\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}-1$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) +f(\theta) = \sqrt{2}\;f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ হলে, দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে প্রমাণ কর যে, $f\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) - f(\theta) = \sqrt{2}\, f(\theta)$
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে দেখাও যে, $(a+b)\; {\rm cosec}\, \theta = 2ab\; \sec^2 \theta$

৭ (i) $\cot^4 A - \cot^2 A=1$
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $12$ cm ও $5$ cm, অতিভুজ ও বৃহত্তর বাহুর অন্তর্গত কোণ $\theta$

• (ক) $\sec \theta = 4 \sqrt{2}$ এবং $\sin \theta = \frac{1}{2\sqrt2}$ হলে $\tan \theta$ এর মান কত?
• (খ) (i) হতে প্রমাণ কর যে, $\cos^2 A = \tan^2 A$
• (গ) (ii) হতে $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta + \tan^2 \theta - \sec^2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

৮ $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle A = 90^\circ$।
$BC = 37$ সে.মি., $AB = 12$ সে.মি. এবং $\angle ABC = \theta$

• (ক) ${\rm cosec}\, \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের ত্রিভুজের আলোকে দেখাও যে, $2 \sin \theta \cos \theta = \dfrac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
• (গ) উদ্দীপক অনুসারে প্রমাণ কর যে, $\cos^2 B - \sin^2 B = \dfrac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$

৯ $\tan A + \sec A = \frac{x}{y}$ এবং $A$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\tan A - \sec A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x=y \sqrt3$ হলে প্রমাণ কর যে, $\cot A = \sqrt3$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\cos A = \frac{2xy}{x^2+y^2}$

১০ $P=1+ \sin A$ এবং $Q=1- \sin A$

• (ক) ${\rm cosec}\, \theta = \sqrt2$ হলে, $\cos \theta =$ কত?
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{P}{Q}}= \sec A + \tan A$
• (গ) দেখাও যে, $\frac{1}{P} + \frac{1}{Q}=2 \left( 1 +\tan^2 A \right)$

১১ $\sin \theta + \cos \theta = p$ এবং $\sec \theta + {\rm cosec}\; \theta = q$

• (ক) $\dfrac{p}{q}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $q \left( p^2-1 \right) = 2p$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos^2 \theta}{2 - 2 \sin^2 \theta - {\rm cosec}^2 \theta} = \frac{p^2}{2p^2-q^2}$

১২ দৃশ্যকল্প-১: $\triangle ABC$-এ $\angle B =90^\circ$ (চিত্রে $AC = 2$ এবং $AB = \sqrt{3}$)

দৃশ্যকল্প-২: $P=\frac{{\rm cosec}\; x + \cot x}{\sec x + \tan x}$

• (ক) দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে $\cos A + \sec A$ নির্ণয় কর।
• (খ) $\sin A + \sin^2 C + \cos C + \cos^2 A =$ কত?
• (গ) প্রমাণ কর যে, $P = \tan x \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$

১৩ $M=2 - \sin^2 \theta$ এবং $N=2 + \tan^2 \theta$

• (ক) $\dfrac{\sec \theta + {\rm cosec}\; \theta}{\sec \theta {\rm cosec}\; \theta} = \sqrt2$ হলে, দেখাও যে, $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt2$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $M^{-1} + N^{-1} =1$
• (গ) দেখাও যে, $M+N = \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta + 4$

১৪ $\tan A = \frac{a}{b}$

• (ক) দেখাও যে, $b \sin A - a \cos A = 0$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sin A = \frac{\pm a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
• (গ) উদ্দীপকের সাহায্যে $\frac{a \sin A - b \cos A}{a \sin A + b \cos A}$ এর মান নির্ণয় কর।

১৫ দেওয়া আছে, $\triangle PQR$-এ $\angle Q = 90^\circ$

• (ক) $\triangle PQR$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{\sin P + \cos Q + \cot R}{\sin Q + \tan P + \cos R}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\sin x + \cos 3y = \sqrt2$

১৬ $ABC$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle A$ সমকোণ। $BC=25$ সে.মি., $AB=20$ সে.মি. এবং $\angle ABC = \theta$

• (ক) $\theta$ একটি সন্নিহিত বাহু চিহ্নিত কর এবং ${\rm cosec }\; \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{7}{25}$
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\cot B + \tan C}{\cot C + \tan B} = \cot B \cdot \tan C$

১৭ (i) $\cot^4 A - \cot^2 A =1$ (ii) $\sec A + \tan A = \frac{5}{2}$

• (ক) যদি $\sin \theta =1$ হয়, তবে ${\rm cosec}^2 \; \theta$ এর মান কত?
• (খ) (i) হতে প্রমাণ কর যে, $\cos^4 A + \cos^2A =1$
• (গ) (ii) হতে $\sec A - \tan A$ এর মান নির্ণয় কর।

১৮ $A=1 + \sin \theta$ এবং $B=1 - \sin \theta$

• (ক) $\sec (90^\circ - \theta) = \frac{5}{3}$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{\frac{A}{B}}$
• (গ) $B- \cos \theta = 0$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

১৯ $\cot \theta + \cos \theta = m$ এবং $\cot \theta - \cos \theta = n$

• (ক) $\theta =60^\circ$ হলে, $3 \sin \theta -4 \sin^3 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{m}{n} = \frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}$ হলে, $\tan \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\left( m^2-n^2 \right)^2 = 16mn$

২০ $\cos B = \sqrt3 \sin B$ এবং $\sqrt2 - \sin P = \cos P$, যেখানে $B$ ও $P$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\tan 9x = \cot 9x$ হলে, $x$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{{\rm cosec}^2\; B - \sec^2 B}{\sin^2 B - \cos^2 B}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে $P$ এর মান নির্ণয় কর।

২১ $\cos \theta = m - \cot \theta$, $\cot \theta = n + \cos \theta$ এবং $\cos (m+n) = \frac12 = \sin (m-n)$; $m$, $n$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\cot \left( 90^\circ - \theta \right) = \sqrt3$ হলে, $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $\left( \frac{m^2-n^2}{4} \right)^2 =mn$
• (গ) দেখাও যে, $m = 45^\circ$ এবং $n=15^\circ$

২২ $p = {\rm cosec}\; \theta + \cot \theta$, $q = {\rm cosec}\; \theta - \cot \theta$, $c = \frac{\sec \theta + 1}{\sec \theta -1}$

• (ক) $\theta = 30^\circ$ হলে, $pq$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $p^2=c$
• (গ) $\frac{q}{p} = \frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}$ এবং $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে $\sec \theta$ এর মান নির্ণয় কর।

২৩ (i) $\cos p + \cot p = x$ এবং $\cot p - \cos p = y$
(ii) $2\sin^2 \theta + 3\cos \theta - 3 = 0$

• (ক) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
• (খ) (i) নং তথ্যের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{xy}} = 4$
• (গ) (ii) নং তথ্যের আলোকে $\theta$-এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $0^\circ < \theta < 90^\circ$

২৪

• (ক) $\tan (90^\circ - \beta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, ${\rm cosec}\; \beta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\left( \frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC} \right)^2 = \frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}$
• (গ) $\frac{AB}{AC} + \frac{BC}{AC} = \sqrt{2}$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

২৫ $x = {\rm cosec}\; \theta$, $y = \sec \theta$ এবং $z = \tan \theta$; যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\tan \left( 90^\circ - A \right) = \sqrt{3}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x + \frac{1}{x} = a$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$
• (গ) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

২৬ (i) $\triangle ABC$-এ, $\angle B = 90^\circ$ এবং $\tan A = \frac{3}{4}$
(ii) $4 \sin (x+y) = \sqrt{12}$, $\sqrt{3} \tan (x-y) = 1$

• (ক) $\theta = 60^\circ$ হলে, $4 \sin^2 \theta - \cos^2 \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $( {\rm cosec}\ A + \cot A)^2 = \frac{1 + \cos A}{1 - \cos A}$
• (গ) (ii) নং হতে $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।

২৭ (i)

(ii) $\sin \beta + \sin \beta \cdot \cot \beta = P$

• (ক) $\sec (A + 30^\circ) = \sqrt{2}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x = \sqrt{3}$ এবং সচিব $y = 2$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\sqrt{3} \sin R \cdot \cos R = \frac{3}{4}$
• (গ) $P = 1$ হলে, $\beta$ এর মান নির্ণয় কর, যেখানে $0^\circ \le \beta \le 90^\circ$

২৮ $\frac{\tan \theta + \sec \theta}{\tan \theta - \sec \theta} = \frac{x+y}{x-y}$ এবং $\cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt2 \sin \alpha$

• (ক) $\tan A = \frac{3}{4}$ হলে, $\sin A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $x=1$, $y=\sqrt2$ এবং $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপক ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \tan \alpha$

২৯ (i) ${\rm cosec}\ A - \cot A = \frac{1}{x}$ এবং (ii) $\sin \theta + \sqrt3 \cos \theta = 2$, যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $x=2$ হলে, ${\rm cosec}\ A + \cot A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) (i) নং থেকে প্রমাণ কর যে, $\cos A = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
• (গ) (ii) নং সমীকরণটি সমাধান কর।

৩০ $p = \frac{\cos \theta}{1- \sin \theta}$, $q = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}$ এবং $r = \sec \theta$

• (ক) $\tan A = x$ হলে, $\sec^2 A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) দেখাও যে, $p+q = 2r$
• (গ) $q=1$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

৩১ $m \sin A = n \cos A$ এবং ${\rm cosec}\ (A-B) = 2$, যেখানে, $A$ এবং $B$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) দেখাও যে, $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, যখন $\theta=30^\circ$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\sec^2 A + {\rm cosec}^2\ A}{\sec^2 A - {\rm cosec}^2\ A} = \frac{n^2 + m^2}{n^2 - m^2}$ $(m \ne n)$
• (গ) $m=n=1$ হলে, $B$ এর মান নির্ণয় কর।

৩২ $p = \tan \beta$, $q = \cot \beta$ এবং $r = \sec \theta - \tan \theta$

• (ক) $A = 30^\circ$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos 2 A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{p}{1-q} + \frac{q}{1-p} = \sec \beta \cdot {\rm cosec}\ \beta +1$
• (গ) $r = \frac{1}{a}$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cot \theta = \frac{2a}{a^2 - 1}$

৩৩ (i)

চিত্রে, $\angle EDF = 5x +2y$ এবং $\angle DFE = x + 4y$
(ii) $p = \cot \theta$ এবং $q = \cos \theta$

• (ক) $\cos (\alpha + 30^\circ) = 0$ হলে, $\sin \frac{\alpha}{2}$ এর মান কত?
• (খ) $x$ ও $y$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $p+q = a$, $p-q = b$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{16}\left( a^2 - b^2 \right)^2 = ab$

৩৪ $\frac{\tan \theta}{\sec \theta + 1} = m$, $\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} = n$ এবং $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = p$

• (ক) $\theta = 45^\circ$ (সংশোধিত) হলে, দেখাও যে, $m = \sqrt2 - 1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $m+n=2p$
• (গ) $m = \frac{1}{\sqrt3}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ বিবেচ্য)।

৩৫ $\cot \theta + \cos \theta = a$, $\cot \theta - \cos \theta = b$

• (ক) $\sin A = \frac{4}{5}$ হলে, $\tan A$-এর মান নির্ণয় কর, যখন $A$ সূক্ষ্মকোণ।
• (খ) $b = \sqrt2 \cos \theta$ হলে, প্রমাণ কর যে, $a = \sqrt2 \cot \theta$
• (গ) $\frac{a}{b} = \frac{2 + \sqrt3}{2 - \sqrt3}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। ($\theta$ সূক্ষ্মকোণ বিবেচ্য)

৩৬ $\tan (p+q) = \sqrt3$, $\sin (p-q) = 0$; $p$, $q$ সূক্ষ্মকোণ। $x = \cot \theta$, $y = \cos \theta$

• (ক) $\cos \left( 90^\circ - \theta \right) = \frac{3}{5}$ হলে, ${\rm cosec}\ \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\cot^2p - \cos^2q$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $x^4 - x^2 = 1$ হলে, প্রমাণ কর যে, $y^4 + y^2 = 1$

৩৭ ${\rm cosec}\ \theta = M$, $\cot \theta = N$, $\sec \alpha = y$; $\theta$, $\alpha$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $y = \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^{-1}}$ হলে, $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $M + N = a$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\cos \theta = \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}$
• (গ) $3M^2 - 2\sqrt3 N = 2$ হলে, $\left(\sin^2 \theta + \frac{1}{4} \right)$ এর মান নির্ণয় কর।

৩৮ $U = \sin A + \cos A$ এবং $V = \sin A - \cos A$, যেখানে $A$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $A = 60^\circ$ হলে, $V$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) সমাধান কর: $U=\sqrt2$
• (গ) $\frac{U}{V} = \frac{\sqrt3 + 1}{\sqrt3 - 1}$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।

৩৯ $p = \cos A$, $q = \sin A$

• (ক) $\tan x = \cot y = \sqrt3$ হলে, $\cos (x+y)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $p^2 + p^4 = 1$ হলে, প্রমাণ কর যে, $\left( \frac{p}{q} \right)^4 - \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 1$
• (গ) $p - q = \sqrt5 q$ হলে, প্রমাণ কর যে, $4q + p = \sqrt5 p$

৪০ $M = \cot \theta$, $N = \cos \theta$; যেখানে $\theta$ সূক্ষ্মকোণ, $A > 0$

• (ক) $\cos A = \frac{1}{3}$ হলে, $\cot A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $4N^2 - \left( 2+2\sqrt3 \right)N + \sqrt3 = 0$ হলে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $\left( M+N \right) \left( 2-\sqrt3 \right) = \left( M-N \right) \left( 2+\sqrt3 \right)$ হলে, $2 \sin \frac{\theta}{2}$ এর মান নির্ণয় কর।

৪১ $\sqrt2 \cos (A-B) = 1 = \sqrt2 \sin (A+B)$ এবং $\sec \theta - \tan \theta = \frac{3}{4}$

• (ক) $\beta = 30^\circ$ হলে, প্রমাণ কর যে $\cos 2 \beta = 2 \cos^2 \beta - 1$
• (খ) $\sec A + \tan B$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $(\cos \theta - \sin \theta)$ এর মান নির্ণয় কর।

৪২ (i) $2 \cos (x+y) = 1 = 2 \sin (x-y)$, $x$, $y$ সূক্ষ্মকোণ।
(ii) $\sec \theta + {\rm cosec}\ \theta = {\rm cosec}\ \theta \cdot \sec \theta$

• (ক) $\tan (A-30^\circ) = 1$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $(x, y)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

৪৩ $x = \tan p + \sin p$, $y = \tan p - \sin p$ এবং $z = \cos^2 A - \sin^2 A$, $A$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) যদি $\tan B = \frac{5}{12}$ হয়, তবে $\sin B$ এর মান বের কর, $B$ সূক্ষ্মকোণ।
• (খ) প্রমাণ কর: $\left( x^2-y^2 \right) \div \left( \sqrt{xy} \right) = 4$
• (গ) যদি $z = 4 - 9 \cos A$ হয়, তবে $A$ এর মান বের কর।

৪৪ (i) $\frac{a^2}{\cos^2 \theta} - \frac{b^2}{\cot^2 \theta} = c^2$; যেখানে $c > a > b$
(ii) $\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = 2+\sqrt3$

• (ক) $\alpha = 30^\circ$ হলে $4 \cos^3 \alpha - 3 \sin 2 \alpha$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{\sin \theta} = \sqrt{\frac{c^2-b^2}{c^2-a^2}}$
• (গ) (ii) নং থেকে $A$ এর মান নির্ণয় কর; যেখানে, $0^\circ \lt A \lt 90^\circ$

৪৫ $P = \sec A + \tan A$, $Q = \sec A -\tan A$ এবং $C= \frac{{\rm cosec}\ A + 1}{{\rm cosec}\ A - 1}$

• (ক) $\sec \theta = 3$ হলে, $\tan \theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $P^2 = C$
• (গ) $\frac{P}{Q} = \frac{2 + \sqrt3}{2 - \sqrt3}$ এবং $A$ সূক্ষ্মকোণ হলে $A$ এর মান নির্ণয় কর।

৪৬ $a = \sin \theta$, $b = \cos \theta$ এবং $A = 30^\circ$

• (ক) $(\cos A - \sin A)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $a^2 + a^4 = 1$ হলে, উদ্দীপকের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, $\left( \frac{a}{b} \right)^4 - \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 1$
• (গ) সমাধান কর: $\sqrt2 a^2 - \left( 1+ \sqrt2 \right)a + 1 = 0$, যখন $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

৪৭ $\triangle ABC$-এ $\angle C = 90^\circ$ এবং $\tan B = \sqrt3$

• (ক) $AB$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\frac{\cot A + \tan B}{\cot B + \tan A} = \cot A \tan B$
• (গ) $\angle B = m+n$ এবং $\angle A = m-n$ হলে, $m$ ও $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৪৮ $\triangle ABC$-এ $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = \theta$, $AC = \sqrt{x^2 + y^2}$ এবং $AB = x$

• (ক) $\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ হলে, $\alpha$ এর মান নির্ণয় কর। (টাইপিং ভুল সংশোধন করে $\sqrt{2}$ এর পরিবর্তে $\sqrt{3}$ ধরা হয়েছে)
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y}$
• (গ) যদি $\left( \frac{BC}{AC} \right)^2 - \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 = 2 - 5 \left( \frac{BC}{AC} \right)$ হয়, তবে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

৪৯ দৃশ্যকল্প-১: $f(x) = \sin x$
দৃশ্যকল্প-২: $a-1 = {\rm cosec}\ \theta$ এবং $b+1 = {\rm cosec}\ \theta$

• (ক) $\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3 \pi}{8} - 1$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) + f(\theta) = \sqrt2 f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right)$ হলে, দৃশ্যকল্প-১ অনুসারে প্রমাণ কর যে, $f\left( \frac{\pi}{2}-\theta \right) - f(\theta) = \sqrt2 f(\theta)$
• (গ) দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে দেখাও যে, $(a+b){\rm cosec}\ \theta = 2 ab \sec^2 \theta$

৫০ $\triangle XYZ$-এ $\angle Y = 90^\circ$, $XY=1$ একক এবং ভো $\tan X = 1$

• (ক) $XZ$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\sec^2 X + \cot^2 Z + \sin^2 Z$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) প্রমাণ কর যে, $\frac{1 - \sin^2 X}{1 + \sin^2 X} + \frac{2 \tan^2 X}{3 \sin^2 X} = \frac{5}{3}$

৫১ $M = \sec \theta - \tan \theta$, $N = \sec \theta + \tan \theta$ এবং $R = 5 {\rm cosec}^2\ A - 7 \cot A \cdot {\rm cosec}\ A - 2$

• (ক) $M=0$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{M}{N} = \left( \sqrt2-1 \right)^2$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যেখানে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।
• (গ) $R=0$ হলে, $A$ এর মান নির্ণয় কর। যেখানে, $A$ সূক্ষ্মকোণ।

৫২ $m=(\sec \theta - \tan \theta)^2$, $n=\frac{{\rm cosec}\ \theta - 1}{{\rm cosec}\ \theta + 1}$

• (ক) দেখাও যে, $\tan^2 3A = 4 \sin^2 3A$; যখন $A=20^\circ$
• (খ) দেখাও যে, $m=n$
• (গ) $n + \frac{1}{n} = \frac{10}{3}$ হলে, $\theta$-এর মান নির্ণয় কর, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

৫৩

চিত্রে, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle B = 90^\circ$

• (ক) $AB = 33$ একক, $AC = 545$ একক হলে, $\cot (90^\circ - C)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) যদি $A = y-x$ এবং $B = 2x+y$ হয়, তবে $\sin 3x$ কে উদ্দীপকের ত্রিভুজের বাহুর অনুপাতে প্রকাশ কর।
• (গ) $10\left( \frac{BC}{AC} \right)^2 - 7\left( \frac{AB}{AC} \right) - 4 = 0$ হলে, $\angle C$ এর মান নির্ণয় কর।

৫৪

উপরের চিত্রগুলোর আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

• (ক) $x$ এর মান কত হলে $\theta = 90^\circ$ হবে?
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}$
• (গ) ২য় চিত্র হতে $m$ ও $n$ এর মান নির্ণয় কর।

৫৫ $x = \sin \theta$ এবং $y = \cos \theta$

• (ক) $\frac{1}{x} + \frac{y}{x} = a$ হলে $\frac{1}{x} - \frac{y}{x}$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $\frac{y-x}{y+x} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ হলে, দেখাও যে, $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
• (গ) দেখাও যে, $\dfrac{\frac{x}{y} + \frac{1}{y} - 1}{\frac{x}{y} - \frac{1}{y} + 1} = \frac{y}{1-x}$

৫৬ $A = \frac{\cot \theta}{{\rm cosec}\ \theta + 1} + \frac{{\rm cosec}\ \theta - 1}{\cot \theta}$, $B = \frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}$, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\cot C = \sqrt3$ হলে, $\sec^2C-1$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $A = 2B$
• (গ) $3B^2 = 1$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।

৫৭ সমীকরণ জোট $\begin{cases} \sin \theta + \cos \theta = 1 & \text{----- (i)} \\[2ex] 2 \cos^2 \theta + 3 \sin \theta = 3 & \text{----- (ii)} \end{cases}$

• (ক) $\frac{1 - \tan^2 60^\circ}{1 + \tan^2 60^\circ} + \sin^2 60^\circ$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ শর্তে ১ম সমীকরণ সমাধান কর।
• (গ) $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$ শর্তে ২য় সমীকরণ থেকে দেখাও যে, $\theta = 30^\circ$

৫৮ $2 \cos (P-Q) = \sqrt3 = 2 \sin (P+Q)$ এবং $P$ ও $Q$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot {\rm cosec}^2\ 30^\circ$ এর মান কত?
• (খ) $P$ এবং $Q$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) $\theta = \frac{1}{2}(P+Q)$ হলে, দেখাও যে, $3 \cos \theta = 4 \cos^3 \theta - \cos 3\theta$

৫৯ $PQR$ সমকোণী ত্রিভুজে $\angle Q$ = ১ সমকোণ, $\tan P = 1$

• (ক) $PR$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) উদ্দীপকের আলোকে $\left( \sec^2 P + \cot^2 R + \sin^2 P \right)$ এর মান নির্ণয় কর।
• (গ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $\frac{1 - \sin^2 P}{1 + \sin^2 P} + \frac{2 \tan^2 P}{3 \sin^2 2P} = 1$

৬০ $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$ এবং $\angle B = \theta$, $AB = AC = a$ এবং যেকোনো ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে $\theta$ এর মান নির্ণয় করা যায়।

• (ক) উপরিউক্ত তথ্য চিত্রে প্রদর্শন করা।
• (খ) $\frac{1 + \cos \theta}{\tan \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ এর মান বের কর।
• (গ) দেখাও যে, $\frac{\cot \theta + {\rm cosec}\ \theta - \tan \theta}{\cot \theta - {\rm cosec}\ \theta + 1} = 1 + \sqrt2$

৬১ ${\rm cosec}\ (90^\circ - \theta) = \frac{5}{3}$ একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ। যেখানে, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

• (ক) $\sqrt3 \sin \theta - \cos \theta = 0$ হলে, $\theta$ এর মান কত?
• (খ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
• (গ) $\sin \theta$ এর মান নির্ণয় কর। দেখাও যে, ${\rm cosec}\ \theta - \cot \theta = \frac{1}{2}$

৬২

চিত্রে $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = \theta$, $BC = x$ এবং ক্লিয়ারলি $AC = y$

• (ক) $2 \left( \frac{AB}{AC} \right)^2 + 3 \frac{BC}{AC} = 3$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{x \tan A + x \cot A}{y \sec A - x \cot A}} = \frac{y}{x}$
• (গ) $x = 3$, $y = 5$ হলে, উদ্দীপক অনুসারে $\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A}$ এর মান নির্ণয় কর।

৬৩ $P = \sin A$, $Q = \cos A$ এবং $R = \tan A$

• (ক) দেখাও যে, $\frac{1}{P^2} - \frac{1}{R^2} = 1$
• (খ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{\frac{1-P}{1+P}} =\frac{1}{Q}-R$
• (গ) সমাধান কর: $P+Q=1$ যখন, $0^\circ \le A \le 90^\circ$

৬৪ $x = \frac{p}{\sec \theta}$ এবং $y = \frac{q}{{\rm cosec}\ \theta}$

• (ক) $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{5}{6}$ হলে, $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$ এর মান কত?
• (খ) $(x+y) = \sqrt{p^2 + q^2 - c^2}$ হলে, দেখাও যে, $x \tan \theta - y \cot \theta = \pm c$
• (গ) সমাধান কর: $\left( \frac{y}{q} \right)^2 - \left( \frac{x}{p} \right)^2 = \frac{x}{p}$; যখন $0 \le \theta \le \pi$

৬৫ $A = \cos \theta + \sin \theta$ এবং $B = \cos \theta - \sin \theta$ দুইটি ত্রিকোণমিতিক রাশি।

• (ক) চিত্রে, $ABC$ ত্রিভুজের $AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
• (খ) $A=\sqrt2 (A - \sin \theta)$ হলে, প্রমাণ কর যে, $B=\sqrt2 (A - \cos \theta)$
• (গ) $A=1$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যেখানে, $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

৬৬ (i) $\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt5 \cos \alpha$
(ii) $2 \left(\sin \theta \cos \theta + \sqrt3 \right) = \sqrt3 \sin \theta + 4 \cos \theta$

• (ক) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ কর যে, ${\rm cosec}^2\ \theta - \cot^2 \theta = 1$
• (খ) (i)নং হতে প্রমাণ কর যে, $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{4 \cos \alpha - \sin \alpha} = \cot \alpha$
• (গ) (ii)নং হতে $\theta$ এর মান নির্ণয় কর। যখন, $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।

৬৭ $a = \frac{\sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$, $b = 2 - \sin^2 \theta$ এবং $c = 2 + \tan^2 \theta$

• (ক) দেখাও যে, $\sin^2 2A = \cos^2 A$ যখন $A = 30^\circ$
• (খ) $a = \frac{3}{5}$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় কর, যখন $\theta$ সূক্ষ্মকোণ।
• (গ) দেখাও যে, $\frac{1}{b}- \frac{1}{c} = a$

৬৮ $A = \cot \theta + {\rm cosec}\ \theta$, $B = \tan \theta + \sec \theta$

• (ক) $\theta$ এর কোন মানের জন্য $\sin \theta$ এর মান প্রায় $1$ হয়? ব্যাখ্যা কর।
• (খ) $A=B$ হলে, $\theta$ এর মান নির্ণয় করে দেখাও যে, $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$
• (গ) $A = 2 + \sqrt3$ হলে, $B$ এর মান নির্ণয় কর।

৬৯ $p = \cot (A+B)$, $q= \cot (A-B)$, $r = \sin A$

• (ক) $r = \frac{3}{4}$ হলে, $\tan A$ এর মান নির্ণয় কর।
• (খ) $p = 1$, $q = \sqrt{3}$ হলে, $A$ ও $B$ এর মান নির্ণয় কর। যেখানে $A$ ও $B$ সূক্ষ্মকোণ।
• (গ) $A-B = \theta$ এবং $q = \sqrt{5}$ হলে, $\frac{{\rm cosec}^2\ \theta - \sec^2 \theta}{{\rm cosec}^2\ \theta + \sec^2 \theta}$ এর মান নির্ণয় কর।