সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ১৯

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\left( \sqrt{7} \right)^{5x-1} = \left( \sqrt[5]{7} \right)^{2x-3}$

বা, $\left( 7^{\frac{1}{2}} \right)^{5x-1} = \left( 7^{\frac{1}{5}} \right)^{2x-3}$

বা, $7^{\frac{5x-1}{2}} = 7^{\frac{2x-3}{5}}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $7$ বাদ দিয়ে পাই,

$\dfrac{5x-1}{2} = \dfrac{2x-3}{5}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $5(5x - 1) = 2(2x - 3)$

বা, $25x - 5 = 4x - 6$

বা, $25x - 4x = -6 + 5$

বা, $21x = -1$

$\therefore x = -\dfrac{1}{21}$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান $x = -\dfrac{1}{21}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A=2$, $B=3$ এবং $C=5$

প্রদত্ত রাশি,

$= \dfrac{(A)^{2x+1} \cdot (B)^{2x+y} \cdot (C)^{x+y} \cdot (AB)^{x}}{(B)^{x-2} \cdot (AB)^{2x+2} \cdot (AC)^{x} \cdot (BC)^{y}}$

মান বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot (2 \cdot 3)^{x}}{3^{x-2} \cdot (2 \cdot 3)^{2x+2} \cdot (2 \cdot 5)^{x} \cdot (3 \cdot 5)^{y}}$

$= \dfrac{2^{2x+1} \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^{x+y} \cdot 2^x \cdot 3^x}{3^{x-2} \cdot 2^{2x+2} \cdot 3^{2x+2} \cdot 2^x \cdot 5^x \cdot 3^y \cdot 5^y}$

একই ভিত্তিগুলো একত্রে সাজিয়ে পাই,

$= \dfrac{2^{2x+1+x} \cdot 3^{2x+y+x} \cdot 5^{x+y}}{2^{2x+2+x} \cdot 3^{x-2+2x+2+y} \cdot 5^{x+y}}$

$= \dfrac{2^{3x+1} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}{2^{3x+2} \cdot 3^{3x+y} \cdot 5^{x+y}}$

$= 2^{(3x+1) - (3x+2)} \cdot 3^{(3x+y) - (3x+y)} \cdot 5^{(x+y) - (x+y)}$

$= 2^{3x+1-3x-2} \cdot 3^0 \cdot 5^0$

$= 2^{-1} \cdot 1 \cdot 1$

$= \dfrac{1}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{1}{2}$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A=2$, $B=3$, $C=5$ এবং $D=7$

বামপক্ষ,

$= D \log \frac{AC}{B^2} - A \log \frac{C^2}{A^2B} + B \log \frac{B^4}{A^4C}$

মান বসিয়ে পাই,

$= 7 \log \frac{2 \cdot 5}{3^2} - 2 \log \frac{5^2}{2^2 \cdot 3} + 3 \log \frac{3^4}{2^4 \cdot 5}$

$= \log \left( \frac{2 \cdot 5}{3^2} \right)^7 - \log \left( \frac{5^2}{2^2 \cdot 3} \right)^2 + \log \left( \frac{3^4}{2^4 \cdot 5} \right)^3$ [যেহেতু $n \log a = \log a^n$]

$= \log \left( \frac{2^7 \cdot 5^7}{3^{14}} \right) - \log \left( \frac{5^4}{2^4 \cdot 3^2} \right) + \log \left( \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$

$= \log \left( \frac{2^7 \cdot 5^7}{3^{14}} \div \frac{5^4}{2^4 \cdot 3^2} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$

$= \log \left( \frac{2^7 \cdot 5^7}{3^{14}} \times \frac{2^4 \cdot 3^2}{5^4} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$

$= \log \left( \frac{2^{7+4} \cdot 3^{2+12} \cdot 5^7}{2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{4+3}} \right)$

$= \log \left( \frac{2^{11} \cdot 3^{14} \cdot 5^7}{2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^7} \right)$

$= \log \left( 2^{11-12} \cdot 3^{14-14} \cdot 5^{7-7} \right)$

$= \log \left( 2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^0 \right)$

$= \log \left( 2^{-1} \cdot 1 \cdot 1 \right)$

$= \log \left( 2^{-1} \right)$

$= -\log 2$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $D \log \frac{AC}{B^2} - A \log \frac{C^2}{A^2B} + B \log \frac{B^4}{A^4C} = - \log 2$ Proved