সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ২০

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$5^{x+1} = (125)^{x-3}$

বা, $5^{x+1} = \left(5^3\right)^{x-3}$

বা, $5^{x+1} = 5^{3x-9}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $5$ বাদ দিয়ে পাই,

$x + 1 = 3x - 9$

বা, $3x - x = 1 + 9$

বা, $2x = 10$

বা, $x = \dfrac{10}{2}$

$\therefore x = 5$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 5$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$P = \dfrac{(49)^{x+1}}{7^{(x+2)(x-1)}}$

প্রশ্নমতে,

$P = 1$

বা, $\dfrac{(49)^{x+1}}{7^{(x+2)(x-1)}} = 1$

বা, $\dfrac{\left(7^2\right)^{x+1}}{7^{x^2 - x + 2x - 2}} = 1$

বা, $\dfrac{7^{2x+2}}{7^{x^2+x-2}} = 1$

বা, $7^{2x+2 - (x^2+x-2)} = 1$

বা, $7^{2x+2 - x^2 - x + 2} = 7^0$ [যেহেতু $7^0 = 1$]

বা, $7^{-x^2 + x + 4} = 7^0$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $7$ বাদ দিয়ে পাই,

$-x^2 + x + 4 = 0$

বা, $x^2 - x - 4 = 0$

আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর সমাধান $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

এখানে সমীকরণটির সাথে তুলনা করে পাই,

$x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}$

বা, $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2}$

বা, $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

যেহেতু উদ্দীপকে দেওয়া আছে $x$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা, তাই ঋণাত্মক মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore x = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$

সুতরাং, $x = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Q = \log_{10}x + \log_{10}(x-9)$

প্রশ্নমতে,

$Q = 1$

বা, $\log_{10}x + \log_{10}(x-9) = 1$

বা, $\log_{10}\{x(x-9)\} = 1$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই,

$x(x-9) = 10^1$

বা, $x^2 - 9x = 10$

বা, $x^2 - 9x - 10 = 0$

বা, $x^2 - 10x + x - 10 = 0$

বা, $x(x - 10) + 1(x - 10) = 0$

বা, $(x - 10)(x + 1) = 0$

হয়,

$x - 10 = 0$

$\therefore x = 10$

অথবা,

$x + 1 = 0$

$\therefore x = -1$

যেহেতু লগারিদমের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয় (এবং উদ্দীপকেও $x$ ধনাত্মক বলা হয়েছে), তাই $x = -1$ গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 10$। Answer