সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ২৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\left( \sqrt5 \right)^{x+1} = \left( \sqrt[3]5 \right)^{2x-1}$

বা, $\left( 5^{\frac{1}{2}} \right)^{x+1} = \left( 5^{\frac{1}{3}} \right)^{2x-1}$

বা, $5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $5$ বাদ দিয়ে পাই,

$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{2x-1}{3}$

আড়গুণন করে পাই,

বা, $3(x + 1) = 2(2x - 1)$

বা, $3x + 3 = 4x - 2$

বা, $4x - 3x = 3 + 2$

$\therefore x = 5$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 5$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \left( \log_{10}3\sqrt3 - \log_{10}\frac{1}{8} - \log_{10}10\sqrt{10} \right) \div \log_{10}1.2$

প্রথমে $A$ এর মান নির্ণয় করি,

$A = \dfrac{\log_{10}\left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right) - \log_{10}\left(2^{-3}\right) - \log_{10}\left(10 \cdot 10^{\frac{1}{2}}\right)}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\log_{10}3^{\frac{3}{2}} + 3\log_{10}2 - \log_{10}10^{\frac{3}{2}}}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log_{10}3 + \frac{3}{2}(2\log_{10}2) - \frac{3}{2}\log_{10}10}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2}\log_{10}3 + \frac{3}{2}\log_{10}2^2 - \frac{3}{2}\log_{10}10}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} (\log_{10}3 + \log_{10}4 - \log_{10}10)}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log_{10}\left(\frac{3 \times 4}{10}\right)}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log_{10}\left(\frac{12}{10}\right)}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{\frac{3}{2} \log_{10}1.2}{\log_{10}1.2}$

$= \dfrac{3}{2}$

এখন,

বামপক্ষ,

$= A \div \sqrt{2.25}$

$= \dfrac{3}{2} \div \sqrt{\dfrac{225}{100}}$

$= \dfrac{3}{2} \div \dfrac{15}{10}$

$= \dfrac{3}{2} \div \dfrac{3}{2}$

$= \dfrac{3}{2} \times \dfrac{2}{3}$

$= 1$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $A \div \sqrt{2.25} = 1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$B = \dfrac{49^{p+1}}{\left( 7^{p-1} \right)^{p+1}}$ এবং $C = \dfrac{7^{p+1}}{\left(7^p \right)^{p-1}}$

প্রথমে $B$ ও $C$ এর মান নির্ণয় করি,

$B = \dfrac{\left(7^2\right)^{p+1}}{7^{p^2-1}}$

$= \dfrac{7^{2p+2}}{7^{p^2-1}}$

$= 7^{2p+2-(p^2-1)}$

$= 7^{2p+2-p^2+1}$

$= 7^{-p^2+2p+3}$

আবার,

$C = \dfrac{7^{p+1}}{7^{p^2-p}}$

$= 7^{p+1-(p^2-p)}$

$= 7^{p+1-p^2+p}$

$= 7^{-p^2+2p+1}$

প্রদত্ত রাশি,

$= (B \div C) \times 7^{-2}$

$= \left( 7^{-p^2+2p+3} \div 7^{-p^2+2p+1} \right) \times 7^{-2}$

$= 7^{(-p^2+2p+3) - (-p^2+2p+1)} \times 7^{-2}$

$= 7^{-p^2+2p+3+p^2-2p-1} \times 7^{-2}$

$= 7^2 \times 7^{-2}$

$= 7^{2-2}$

$= 7^0$

$= 1$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $1$। Answer