সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ২২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$4^{2p-1} = 512$

বা, $\left(2^2\right)^{2p-1} = 2^9$

বা, $2^{4p-2} = 2^9$

উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $2$ বাদ দিয়ে পাই,

$4p - 2 = 9$

বা, $4p = 9 + 2$

বা, $4p = 11$

$\therefore p = \dfrac{11}{4}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $p = \dfrac{11}{4}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$Q = \log_{10}x + \log_{10}(x-3)$

প্রশ্নমতে,

$Q = 1$

বা, $\log_{10}x + \log_{10}(x-3) = 1$

বা, $\log_{10}\{x(x-3)\} = 1$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে পাই,

$x(x-3) = 10^1$

বা, $x^2 - 3x = 10$

বা, $x^2 - 3x - 10 = 0$

বা, $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$

বা, $x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$

বা, $(x - 5)(x + 2) = 0$

হয়,

$x - 5 = 0$

$\therefore x = 5$

অথবা,

$x + 2 = 0$

$\therefore x = -2$

যেহেতু লগারিদমের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়, তাই $x = -2$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore x = 5$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 5$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$N = \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}} \div \dfrac{(49)^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}} \times \sqrt[3]{7^9}$

বামপক্ষ,

$= N$

$= \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}} \div \dfrac{(49)^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}} \times \sqrt[3]{7^9}$

$= \dfrac{7^{m+1}}{7^{m^2-m}} \div \dfrac{\left(7^2\right)^{m+1}}{7^{m^2-1}} \times 7^{\frac{9}{3}}$

$= 7^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{7^{2m+2}}{7^{m^2-1}} \times 7^3$

$= 7^{m+1-m^2+m} \div 7^{(2m+2) - (m^2-1)} \times 7^3$

$= 7^{-m^2+2m+1} \div 7^{2m+2-m^2+1} \times 7^3$

$= 7^{-m^2+2m+1} \div 7^{-m^2+2m+3} \times 7^3$

$= 7^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)} \times 7^3$

$= 7^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3} \times 7^3$

$= 7^{-2} \times 7^3$

$= 7^{-2+3}$

$= 7^1$

$= 7$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $N = 7$ Proved