ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ১৩

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\dfrac{\sec \theta + {\rm cosec}\; \theta}{\sec \theta {\rm cosec}\; \theta} = \sqrt{2}$

বামপক্ষের ভগ্নাংশটিকে আলাদা করে লিখলে পাই,

বা, $\dfrac{\sec \theta}{\sec \theta {\rm cosec}\; \theta} + \dfrac{{\rm cosec}\; \theta}{\sec \theta {\rm cosec}\; \theta} = \sqrt{2}$

লব ও হর থেকে সাধারণ পদগুলো কাটাকাটি করে পাই,

বা, $\dfrac{1}{{\rm cosec}\; \theta} + \dfrac{1}{\sec \theta} = \sqrt{2}$

আমরা জানি, $\dfrac{1}{{\rm cosec}\; \theta} = \sin \theta$ এবং $\dfrac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$

বা, $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$

$\therefore \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ Showed

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = 2 - \sin^2 \theta$

বা, $M = 1 + 1 - \sin^2 \theta$

যেহেতু, $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$

$\therefore M = 1 + \cos^2 \theta$

আবার,

$N = 2 + \tan^2 \theta$

বা, $N = 1 + 1 + \tan^2 \theta$

যেহেতু, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

$\therefore N = 1 + \sec^2 \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= M^{-1} + N^{-1}$

$= \dfrac{1}{M} + \dfrac{1}{N}$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= \dfrac{1}{1 + \cos^2 \theta} + \dfrac{1}{1 + \sec^2 \theta}$

এখন $\sec^2 \theta$ কে $\cos^2 \theta$ এ পরিবর্তন করি,

$= \dfrac{1}{1 + \cos^2 \theta} + \dfrac{1}{1 + \frac{1}{\cos^2 \theta}}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরে ল.সা.গু. করে পাই,

$= \dfrac{1}{1 + \cos^2 \theta} + \dfrac{1}{\frac{\cos^2 \theta + 1}{\cos^2 \theta}}$

দ্বিতীয় ভগ্নাংশটি উল্টে দিলে পাই,

$= \dfrac{1}{1 + \cos^2 \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

পুনরায় ল.সা.গু. করে পাই,

$= \dfrac{1 + \cos^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta}$

$= 1$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= 1$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $M^{-1} + N^{-1} =1$ Proved

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$M = 2 - \sin^2 \theta$

$N = 2 + \tan^2 \theta$

বামপক্ষ (L.H.S):

$= M + N$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$= (2 - \sin^2 \theta) + (2 + \tan^2 \theta)$

$= 4 + \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$

এখন, $\tan^2 \theta$ কে সাইন ও কোসাইন অনুপাতে ভাঙলে পাই,

$= 4 + \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - \sin^2 \theta$

শেষের দুটি পদ থেকে $\sin^2 \theta$ কমন নিয়ে পাই,

$= 4 + \sin^2 \theta \left( \dfrac{1}{\cos^2 \theta} - 1 \right)$

আমরা জানি, $\dfrac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$

$= 4 + \sin^2 \theta (\sec^2 \theta - 1)$

আবার, আমরা জানি $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$

$= 4 + \sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta$

$= \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta + 4$

ডানপক্ষ (R.H.S):

$= \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta + 4$

$\therefore$ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $M+N = \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta + 4$ Showed