ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : অনুশীলনী-৯ - সৃজনশীল - ৪২

(ক) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$\tan (A-30^\circ) = 1$

আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$

বা, $\tan (A-30^\circ) = \tan 45^\circ$

উভয়পক্ষ হতে $\tan$ বাদ দিয়ে পাই,

বা, $A - 30^\circ = 45^\circ$

বা, $A = 45^\circ + 30^\circ$

$\therefore A = 75^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $A = 75^\circ$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (i) হতে পাই,

$2 \cos (x+y) = 1$

বা, $\cos (x+y) = \frac{1}{2}$

বা, $\cos (x+y) = \cos 60^\circ$

$\therefore x + y = 60^\circ$ ........ (i)

আবার,

$2 \sin (x-y) = 1$

বা, $\sin (x-y) = \frac{1}{2}$

বা, $\sin (x-y) = \sin 30^\circ$

$\therefore x - y = 30^\circ$ ........ (ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$(x + y) + (x - y) = 60^\circ + 30^\circ$

বা, $2x = 90^\circ$

বা, $x = \frac{90^\circ}{2}$

$\therefore x = 45^\circ$

$x$ এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$45^\circ + y = 60^\circ$

বা, $y = 60^\circ - 45^\circ$

$\therefore y = 15^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $(x, y) = (45^\circ, 15^\circ)$। Answer

---

(গ) নং এর সমাধান

উদ্দীপক (ii) হতে পাই,

$\sec \theta + {\rm cosec}\ \theta = {\rm cosec}\ \theta \cdot \sec \theta$

$\sin$ ও $\cos$-এ পরিবর্তন করে পাই,

বা, $\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}$

বামপক্ষে লসাগু করে পাই,

বা, $\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

উভয়পক্ষকে $\sin \theta \cos \theta$ দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, $\sin \theta + \cos \theta = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

বা, $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (1)^2$

বা, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

আমরা জানি, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1 - 1$

বা, $2\sin \theta \cos \theta = 0$

আমরা জানি, $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$

বা, $\sin 2\theta = 0$

যেহেতু, শর্ত দেওয়া আছে $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$

তাহলে, $0^\circ \le 2\theta \le 180^\circ$

অতএব, $\sin 2\theta = \sin 0^\circ$ অথবা $\sin 180^\circ$

বা, $2\theta = 0^\circ$ অথবা $2\theta = 180^\circ$

বা, $\theta = \frac{0^\circ}{2}$ অথবা $\theta = \frac{180^\circ}{2}$

$\therefore \theta = 0^\circ$ অথবা $\theta = 90^\circ$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\theta = 0^\circ, 90^\circ$। Answer