সূচক ও লগারিদম : অনুশীলনী-৪ - সৃজনশীল - ২১

(ক) নং এর সমাধান

প্রদত্ত রাশি,

$= 32$ এর $4$ ভিত্তিক লগ

$= \log_4 32$

$= \log_4 (2^5)$

$= \log_4 \left( \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^5 \right)$

$= \log_4 \left( 4^{\frac{5}{2}} \right)$

$= \dfrac{5}{2} \log_4 4$

$= \dfrac{5}{2} \cdot 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]

$= \dfrac{5}{2}$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $\dfrac{5}{2}$। Answer

---

(খ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$A = \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}}$ এবং $B = \dfrac{49^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}}$

প্রথমে $A \div B$ এর মান নির্ণয় করি,

$A \div B = \dfrac{7^{m+1}}{(7^m)^{m-1}} \div \dfrac{49^{m+1}}{(7^{m-1})^{m+1}}$

$= \dfrac{7^{m+1}}{7^{m^2-m}} \div \dfrac{\left(7^2\right)^{m+1}}{7^{m^2-1}}$

$= 7^{(m+1) - (m^2-m)} \div \dfrac{7^{2m+2}}{7^{m^2-1}}$

$= 7^{m+1-m^2+m} \div 7^{(2m+2) - (m^2-1)}$

$= 7^{-m^2+2m+1} \div 7^{2m+2-m^2+1}$

$= 7^{-m^2+2m+1} \div 7^{-m^2+2m+3}$

$= 7^{(-m^2+2m+1) - (-m^2+2m+3)}$

$= 7^{-m^2+2m+1+m^2-2m-3}$

$= 7^{-2}$

$= \dfrac{1}{7^2}$

$= \dfrac{1}{49}$

এখন,

বামপক্ষ,

$= A \div B \times \sqrt{49}$

$= \dfrac{1}{49} \times \sqrt{7^2}$

$= \dfrac{1}{49} \times 7$

$= \dfrac{1}{7}$

$=$ ডানপক্ষ

সুতরাং, $A \div B \times \sqrt{49} = \dfrac{1}{7}$ Shown

---

(গ) নং এর সমাধান

দেওয়া আছে,

$C = \log (x+5) + \log (x-5) - 4 \log 2 - 2 \log 3$

প্রশ্নমতে,

$C = 0$

বা, $\log (x+5) + \log (x-5) - 4 \log 2 - 2 \log 3 = 0$

বা, $\log \{(x+5)(x-5)\} - \log 2^4 - \log 3^2 = 0$

বা, $\log (x^2 - 5^2) - (\log 16 + \log 9) = 0$

বা, $\log (x^2 - 25) - \log (16 \times 9) = 0$

বা, $\log (x^2 - 25) - \log 144 = 0$

বা, $\log \left( \dfrac{x^2 - 25}{144} \right) = 0$

লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে,

$\dfrac{x^2 - 25}{144} = 10^0$

বা, $\dfrac{x^2 - 25}{144} = 1$

বা, $x^2 - 25 = 144$

বা, $x^2 = 144 + 25$

বা, $x^2 = 169$

বা, $x = \pm \sqrt{169}$

বা, $x = \pm 13$

কিন্তু লগারিদমের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সংজ্ঞায়িত নয়। $x = -13$ হলে $(x-5) = -18$, যা গ্রহণযোগ্য নয়।

তাই $x = -13$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$\therefore x = 13$

সুতরাং, নির্ণেয় মান $x = 13$। Answer